{"id":3416,"date":"2018-04-10T20:34:08","date_gmt":"2018-04-11T01:34:08","guid":{"rendered":"https:\/\/colzaga.edu.co\/portal\/?p=3416"},"modified":"2018-04-10T20:34:08","modified_gmt":"2018-04-11T01:34:08","slug":"los-numerosprimos-siguen-fascinando","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/colzaga.edu.co\/web\/los-numerosprimos-siguen-fascinando\/","title":{"rendered":"Los n\u00fameros PRIMOS siguen fascinando"},"content":{"rendered":"

Por qu\u00e9 los n\u00fameros primos siguen fascinando<\/h3>\n

a los matem\u00e1ticos, 2.300 a\u00f1os despu\u00e9s<\/h3>\n
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El premio Abel es el \u00faltimo galard\u00f3n que premia el estudio de lo que es, posiblemente, el conjunto de datos matem\u00e1ticos mayor y m\u00e1s antiguo<\/h4>\n

El 20 de marzo, el matem\u00e1tico estadounidense de origen canadiense Robert Langlands fue distinguido con el Premio Abel<\/a> por toda una vida dedicada a las matem\u00e1ticas. La investigaci\u00f3n de Langlands ha demostrado que conceptos derivados de la geometr\u00eda, el \u00e1lgebra y el an\u00e1lisis num\u00e9rico pod\u00edan conectarse a trav\u00e9s de un v\u00ednculo com\u00fan con los n\u00fameros primos.<\/p>\n

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Cuando el rey de Noruega le entregue el galard\u00f3n a Langlands, el pr\u00f3ximo mayo, estar\u00e1 premiando el \u00faltimo de los esfuerzos que desde hace 2.300 a\u00f1os tratan de entender los n\u00fameros primos, posiblemente el conjunto de datos matem\u00e1ticos mayor y m\u00e1s antiguo.<\/div>\n<\/div>\n

Como matem\u00e1tico dedicado a este programa Langlands<\/em>, me fascina la historia de los n\u00fameros primos y los recientes avances que ayudan a desenmara\u00f1ar sus secretos. \u00bfPor qu\u00e9 llevan milenios cautivando a los matem\u00e1ticos?<\/p>\n

C\u00f3mo encontrar n\u00fameros primos<\/h3>\n

Para estudiar los n\u00fameros primos, los matem\u00e1ticos extraen n\u00fameros enteros de una tabla virtual tras otra, hasta dejar solo los primos. Este procedimiento de criba produjo tablas de millones de primos en el siglo XIX. En la actualidad, permite a los ordenadores encontrar miles de millones de n\u00fameros primos en menos de un segundo. Pero la idea fundamental de la criba permanece inmutable desde hace m\u00e1s de 2.000 a\u00f1os.<\/p>\n

\u201cUn n\u00famero primo es aquel que solo es medido por la unidad\u201d, escrib\u00eda el matem\u00e1tico Euclides en el a\u00f1o 300 a. C. Esto significa que los n\u00fameros primos no son divisibles entre ning\u00fan n\u00famero menor que ellos, excepto 1. Por convenci\u00f3n, los matem\u00e1ticos no cuentan el 1 como n\u00famero primo.<\/p>\n

Si bien Euclides demostr\u00f3 que los n\u00fameros primos son infinitos, la historia indica que fue Erat\u00f3stenes<\/a> quien nos aport\u00f3 la criba que permite hallarlos con rapidez. Esta es la idea de la criba. Primero, filtramos los m\u00faltiplos de 2, luego de 3, de 5 y de 7, los cuatro primeros n\u00fameros primos. Si lo hacemos con todos los n\u00fameros del 2 al 100, solo quedar\u00e1n n\u00fameros primos. Con ocho pasos de filtrado, podemos aislar los n\u00fameros primos hasta 400. Con 168 pasos de filtrado, podemos aislar primos hasta 1 mill\u00f3n. Esa es la capacidad de la criba de Erat\u00f3stenes.<\/p>\n

Tablas y tablas<\/h3>\n

Una de las primeras figuras en el listado de primos fue John Pell, un matem\u00e1tico ingl\u00e9s que se dedic\u00f3 a crear tablas de n\u00fameros \u00fatiles. Su motivaci\u00f3n era resolver problemas aritm\u00e9ticos antiguos planteados por Diofanto, pero tambi\u00e9n un objetivo personal de organizar verdades matem\u00e1ticas. Gracias a sus esfuerzos, a principios del siglo xviii circulaban ya los n\u00fameros primos hasta 100.000. En 1800, distintos proyectos independientes hab\u00edan hallado ya los primos hasta 1 mill\u00f3n.<\/p>\n

Para automatizar los tediosos pasos de criba, un matem\u00e1tico alem\u00e1n llamado Carl Friedrich Hindenburg utiliz\u00f3 deslizadores ajustables para eliminar de inmediato m\u00faltiplos en toda una p\u00e1gina de una tabla. Otro m\u00e9todo poco tecnol\u00f3gico pero eficaz empleaba plantillas para localizar los m\u00faltiplos. A mediados del siglo XIX, el matem\u00e1tico Jakob Kulik se hab\u00eda embarcado en un ambicioso proyecto para encontrar todos los n\u00fameros primos hasta 100 millones.<\/p>\n

Estos \u201cgrandes datos\u201d del siglo XIX podr\u00edan haber servido solo como tabla de referencia si Carl Friedrich Gauss no hubiera decidido analizar los n\u00fameros primos por s\u00ed mismos. Armado con una lista de primos hasta 3 millones, Gauss empez\u00f3 a contarlos, de \u201cchiliada<\/a>\u201d (grupos de 1.000 unidades) en chiliada. Cont\u00f3 los primos que hay hasta 1.000, despu\u00e9s entre 1.000 y 2.000, despu\u00e9s entre 2.000 y 3.000 y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n

Gauss descubri\u00f3 que, a medida que aumentan los n\u00fameros, la frecuencia de los primos desciende de acuerdo con una ley de \u201clogaritmo inverso\u201d. La ley de Gauss no muestra con exactitud cu\u00e1ntos primos hay, pero ofrece un c\u00e1lculo bastante bueno. Por ejemplo, su ley predice la existencia de 72 primos entre 1.000.000 y 1.001.000. La cifra correcta es de 75, un error de aproximadamente el 4%.<\/p>\n

Un siglo despu\u00e9s de las primeras exploraciones de Gauss, el \u201cteorema de los n\u00fameros primos\u201d demostr\u00f3 su ley. El porcentaje de error se aproxima a cero en las cadenas de primos de mayor tama\u00f1o. La hip\u00f3tesis de Riemann, un problema que vale 1 mill\u00f3n de d\u00f3lares en la actualidad, describe tambi\u00e9n lo exacto que es realmente el c\u00e1lculo de Gauss.<\/p>\n

El teorema de los n\u00fameros primos y la hip\u00f3tesis de Riemann reciben la atenci\u00f3n y el dinero, pero ambos se basan en an\u00e1lisis de datos anteriores y menos glamurosos.<\/p>\n

Misterios modernos de los n\u00fameros primos<\/h3>\n

Hoy en d\u00eda, nuestros conjuntos de datos proceden de programas inform\u00e1ticos, y no de plantillas hechas a mano, pero los matem\u00e1ticos siguen hallando nuevos patrones en los primos.<\/p>\n

Excepto el 2 y el 5, todos los n\u00fameros primos acaban en 1, 3, 7 o 9. En el siglo XIX se demostr\u00f3 que estos posibles \u00faltimos d\u00edgitos se dan con la misma frecuencia. En otras palabras, si observamos los primos hasta un mill\u00f3n, aproximadamente el 25% termina en 1, el 25% en 3, el 25% en 7 y el 25% en 9.<\/p>\n

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Hace unos a\u00f1os, dos te\u00f3ricos de n\u00fameros de Stanford, Robert Lemke Oliver y Kannan Soundararajan, se sorprendieron al observar peculiaridades en los \u00faltimos d\u00edgitos de n\u00fameros primos. Un experimento observaba el \u00faltimo d\u00edgito de un primo y el \u00faltimo d\u00edgito del siguiente. Por ejemplo, el n\u00famero primo que sigue a 23 es 29: vemos un 3 y despu\u00e9s un 9 en sus \u00faltimos d\u00edgitos. \u00bfEs la secuencia 3 – 9 entre los \u00faltimos d\u00edgitos de los n\u00fameros primos m\u00e1s frecuente que la de 3 – 7?<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n

Los te\u00f3ricos de n\u00fameros esperaban cierta variaci\u00f3n, pero lo que encontraron super\u00f3 con creces sus expectativas. Los primos est\u00e1n separados por diferentes intervalos; por ejemplo, 23 est\u00e1 a seis n\u00fameros de 29. Pero la secuencia de primos terminados en 3 y a continuaci\u00f3n 9, como 23 y 29, es mucho m\u00e1s com\u00fan que 7 \u2013 3, aunque ambos procedan de un intervalo de seis.<\/p>\n

Los matem\u00e1ticos pronto encontraron una explicaci\u00f3n veros\u00edmil. Pero en lo que al estudio de n\u00fameros primos sucesivos se refiere, los matem\u00e1ticos se ven limitados (principalmente) al an\u00e1lisis de datos y a la persuasi\u00f3n. Parece que las pruebas \u2013el patr\u00f3n oro de los matem\u00e1ticos para explicar por qu\u00e9 las cosas son ciertas\u2013 tardar\u00e1n d\u00e9cadas.<\/p>\n

Martin H. Weissman es profesor asociado de matem\u00e1ticas en la Universidad de California en Santa Cruz<\/p>\n

Cl\u00e1usula de divulgaci\u00f3n.<\/strong> Martin Weissman recibe financiaci\u00f3n de la Fundaci\u00f3n Simons para la colaboraci\u00f3n en matem\u00e1ticas.<\/p>\n

Este art\u00edculo fue publicado originalmente en ingl\u00e9s en la web The Conversation<\/em><\/a>.<\/p>\n<\/div>\n

PARA RESALTAR<\/strong><\/em><\/p>\n

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  1. \u00a0 Existe un n\u00famero infinito de n\u00fameros primos que se diferencian en 2 (tales como 3 y 5;\u00a0 17 y 19)<\/em><\/li>\n
  2. CONJETURA DE GOLDBACH :<\/li>\n<\/ol>\n

    \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 Todo n\u00famero par mayor que dos puede escribirse como suma de dos n\u00fameros primos.\u00a0 <\/em><\/p>\n

    (Por ejemplo, 6=3+3; 18=11+7 …)<\/em><\/p>\n

      \n
    1. \u00a0 Existe un n\u00famero infinito de n\u00fameros primos que responden a la forma de un n\u00famero al cuadrado m\u00e1s uno. <\/em>(Por ejemplo, 5=22<\/sup>+1, 17=42<\/sup>+1…)<\/em><\/li>\n
    2. Siempre existe un n\u00famero primo entre dos n\u00fameros cuadrados consecutivos.<\/em> (Por ejemplo,<\/em> entre 4 y 9 est\u00e1n el 5 y el 7; entre 9 y 16, est\u00e1n el 11 y el 13,…)<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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