{"id":2578,"date":"2017-05-14T11:37:26","date_gmt":"2017-05-14T16:37:26","guid":{"rendered":"https:\/\/colzaga.edu.co\/portal\/?p=2578"},"modified":"2017-05-14T11:37:26","modified_gmt":"2017-05-14T16:37:26","slug":"el-triangulo-rectangulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/colzaga.edu.co\/web\/el-triangulo-rectangulo\/","title":{"rendered":"El Tri\u00e1ngulo RECT\u00c1NGULO"},"content":{"rendered":"<p>Construcci\u00f3n Geom\u00e9trica<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" style=\"border: 0px;\" title=\"Construci\u00f3n del Tri\u00e1ngulo Rect\u00e1ngulo\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/My6k5z5y\/width\/627\/height\/729\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"627px\" height=\"729px\" scrolling=\"no\"> <\/iframe><\/p>\n<p>En geometr\u00eda eucl\u00eddea plana se denomina <b>tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo<\/b> a cualquier tri\u00e1ngulo con un \u00e1ngulo <a title=\"\u00c1ngulo recto\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/%C3%81ngulo_recto\">recto<\/a>, es decir, un \u00e1ngulo de 90 grados<\/p>\n<h2><span id=\"Terminolog.C3.ADa_y_casos_especiales\" class=\"mw-headline\">Terminolog\u00eda y casos especiales<\/span><\/h2>\n<table style=\"height: 304px;\" width=\"700\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 259.1px;\">\n<td style=\"width: 335.31px; height: 259.1px;\"><a class=\"image\" href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Triangulo-Rectangulo.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"thumbimage aligncenter\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/2\/26\/Triangulo-Rectangulo.svg\/375px-Triangulo-Rectangulo.svg.png\" alt=\"\" width=\"250\" height=\"173\" data-file-width=\"650\" data-file-height=\"450\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">Un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo y sus elementos.<\/p>\n<\/td>\n<td style=\"width: 335.69px; height: 259.1px;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">Se denomina <em><strong>hipotenusa<\/strong><\/em> al lado mayor del tri\u00e1ngulo, el lado opuesto al \u00e1ngulo recto.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Se llaman <em><strong>catetos <\/strong><\/em>a los dos lados menores, los que conforman el \u00e1ngulo recto; cada cateto se opone a un \u00e1ngulo agudo. S\u00f3lo si la medida de los tres lados son n\u00fameros enteros (3,4 y 5), \u00e9stos constituyen un tr\u00edo de nombre <i>terna pitag\u00f3rica<\/i>.<\/p>\n<p>Si los catetos son iguales se llama <b>tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo is\u00f3sceles<\/b> ( 45\u00b0-90\u00b0-45\u00b0).<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<div class=\"thumb tright\">\n<div class=\"thumbinner\">\n<div class=\"thumbcaption\">\n<div class=\"magnify\">\n<h2><span id=\"Propiedades\" class=\"mw-headline\">Propiedades<\/span><\/h2>\n<p>En todo tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo se cumple que:<\/p>\n<ul>\n<li>Tiene dos \u00e1ngulos agudos.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos (Teorema de Pit\u00e1goras).<\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">La suma de la hipotenusa y el di\u00e1metro de un c\u00edrculo inscrito en el tri\u00e1ngulo es igual a la suma de los catetos.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">Para efectos de \u00e1rea, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">La mediana de la hipotenusa descompone un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo escaleno en dos tri\u00e1ngulos: uno obtus\u00e1ngulo y otro acut\u00e1ngulo, no congruentes pero equivalentes.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">La mediana de la hipotenusa de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo is\u00f3sceles lo descompone en dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos is\u00f3sceles congruentes y equivalentes<sup>.<\/sup><\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">Dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos, con hipotenusa com\u00fan, y los \u00e1ngulos rectos en semiplanos opuestos determinados por la recta que contiene a la hipotenusa, forman un <i>cuadril\u00e1tero birrect\u00e1ngulo<\/i>.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">La mediana que parte del \u00e1ngulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.<\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">La altura que parte del v\u00e9rtice del \u00e1ngulo recto, coincide con un cateto, con tal de considerar al otro cateto como una base.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<h4 style=\"text-align: justify;\"><span id=\"Tipos_de_tri.C3.A1ngulo_rect.C3.A1ngulo\" class=\"mw-headline\">Tipos de tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo<\/span><\/h4>\n<p>Existen dos tipos de tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo:<\/p>\n<table style=\"width: 700px; height: 65px;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 269px;\"><a class=\"image\" href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Triangle-45-45-90.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/d4\/Triangle-45-45-90.svg\/180px-Triangle-45-45-90.svg.png\" alt=\"\" width=\"120\" height=\"60\" data-file-width=\"122\" data-file-height=\"61\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">Tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo is\u00f3sceles<\/p>\n<\/td>\n<td style=\"width: 421px; text-align: justify; vertical-align: top;\"><b>Tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo is\u00f3sceles<\/b>: los dos catetos son de la misma longitud, los \u00e1ngulos interiores son de 45\u00b0- 45\u00b0- 90\u00b0. En este tipo de tri\u00e1ngulo, la hipotenusa mide <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff\" alt=\"{\\sqrt {2}}\" \/><\/span> veces la longitud del cateto.<b><\/b><i><\/i><u><\/u><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 269px;\"><a class=\"image\" href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:30-60-90_triangle.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/df\/30-60-90_triangle.svg\/118px-30-60-90_triangle.svg.png\" alt=\"\" width=\"79\" height=\"120\" data-file-width=\"284\" data-file-height=\"432\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">Tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo escaleno.<\/p>\n<\/td>\n<td style=\"width: 421px; text-align: justify; vertical-align: top;\"><b>Tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo escaleno<\/b>: los tres lados y los tres \u00e1ngulos tienen diferente medida. Un caso particular es aqu\u00e9l cuyos \u00e1ngulos interiores miden 30\u00b0 &#8211; 60\u00b0 &#8211; 90\u00b0, en este tipo de tri\u00e1ngulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"> <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3b19c09494138b5082459afac7f9a8d99c546fcd\" alt=\"{\\sqrt {3}}\" \/><\/span> veces la longitud del cateto<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h4>\u00a0<span id=\"Relaciones_m.C3.A9tricas\" class=\"mw-headline\">Relaciones m\u00e9tricas<\/span><\/h4>\n<table style=\"width: 700px; height: 38px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 255.73px;\">\n<td style=\"width: 35.86px; height: 255.73px; vertical-align: top;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">Los tres tri\u00e1ngulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son rect\u00e1ngulos y semejantes.<b><\/b><i><\/i><u><\/u><\/p>\n<ul>\n<li>La hipotenusa es igual a la suma de las proyecciones.<\/li>\n<\/ul>\n<dl>\n<dd>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/150e386050601fe910bf0ea67bae5eaa20f657d3\" alt=\"{\\displaystyle a=m+n\\,\\!}\" \/><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<\/dd>\n<\/dl>\n<p>Por semejanza de tri\u00e1ngulos, tenemos que:<\/p>\n<ul>\n<li>El cuadrado de la altura relativa de los catetos.<\/li>\n<\/ul>\n<dl>\n<dd>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/76b826aa9ef9a2b8b83d65a74b352e69661b0ca1\" alt=\"{\\displaystyle {\\frac {h}{m}}={\\frac {n}{h}}\\Rightarrow h^{2}=mn\\,\\!}\" \/><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<\/dd>\n<\/dl>\n<ul>\n<li>El cuadrado de un cateto, es igual al producto entre su proyecci\u00f3n (que se encuentra de su lado) y la hipotenusa.<\/li>\n<\/ul>\n<dl>\n<dd>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/808ae3668c375cd1dab3a3d25011aa622e8b727c\" alt=\"{\\displaystyle {\\frac {b}{a}}={\\frac {m}{b}}\\Rightarrow b^{2}=am\\,\\ }\" \/><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<\/dd>\n<\/dl>\n<dl>\n<dd>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ad2ade2ea589e78cd8b0647ac8570136a1f8d832\" alt=\"{\\displaystyle {\\frac {c}{a}}={\\frac {n}{c}}\\Rightarrow c^{2}=an\\,\\ }\" \/><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<\/dd>\n<\/dl>\n<\/td>\n<td style=\"width: 96.14px; height: 255.73px; vertical-align: top;\"><a class=\"image\" href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Elementos_do_tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"thumbimage\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/d6\/Elementos_do_tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg\/525px-Elementos_do_tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg.png\" alt=\"\" width=\"350\" height=\"194\" data-file-width=\"967\" data-file-height=\"535\" \/><\/a>Ilustraci\u00f3n de los principales elementos del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo:<br \/>\n<b><i>a<\/i> <\/b>es la hipotenusa,<br \/>\n<b><i>b<\/i> <\/b>el cateto mayor,<br \/>\n<b><i>c<\/i> <\/b>el cateto menor,<b><br \/>\n<i>h<\/i> <\/b>la altura relativa a la hipotenusa,<br \/>\n<b><i>m<\/i> <\/b>la proyecci\u00f3n del cateto <i>b<\/i> y<br \/>\n<b><i>n<\/i> <\/b>la proyecci\u00f3n del cateto <i>c<\/i>.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h4><span id=\"Teorema_de_la_altura\" class=\"mw-headline\">Teorema de la altura<\/span><\/h4>\n<p>El teorema de \u00ab<b>la altura de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo<\/b>\u00bb establece que<\/p>\n<table style=\"width: 700px;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 399.05px;\">La altura del tri\u00e1ngulo <b>rect\u00e1ngulo<\/b> ABC lo divide en dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos semejantes, de forma que<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline aligncenter\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c3444de0586ce9f3e73fe44e72ce41667cf6e184\" alt=\"\\frac{h}{n} = \\frac{m}{h}\" \/><\/span><sup><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline aligncenter\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/22f4eec98901c6ee328d55c28b89e893c2bf22ea\" alt=\"h^2=m\\,n \\,\" \/><\/span><\/sup><\/dd>\n<\/dl>\n<p><span class=\"mwe-math-element\"> <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline aligncenter\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f41273c949cba878b3989a476b2158210032e130\" alt=\"h=\\sqrt{m\\,n}\" \/><\/span><\/p>\n<dl>\n<dd>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/2d8b0219d806b39d3c8523838a7979d1735eddb8\" alt=\"m=\\frac{b^2}{a} \\,\" \/><\/span>\u00a0\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b5fe813099c9155d7048af85b62ffe434686f3d7\" alt=\"n=\\frac{c^2}{a} \\,\" \/><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<\/dd>\n<\/dl>\n<blockquote><p><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fb695cb6be12849f594fd01d947c922ef90602ca\" alt=\"h=\\sqrt{m\\,n}=\\sqrt{\\frac{b^2}{a}\\frac{c^2}{a}}\" \/><\/span><\/p>\n<blockquote><p><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d31dad924ef8420ada0735e82fedd35398e2b3bc\" alt=\"h=\\frac{b\\,c}{a}\" \/><\/span><\/p><\/blockquote>\n<\/blockquote>\n<\/td>\n<td style=\"width: 294.95px; text-align: center; vertical-align: top;\"><a class=\"image\" href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"thumbimage\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/a\/a0\/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg\/360px-Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg.png\" alt=\"\" width=\"240\" height=\"140\" data-file-width=\"1200\" data-file-height=\"700\" \/><\/a><b><i>Figura 1<\/i><\/b>: Teorema de la altura.<b><\/b><i><\/i><u><\/u><\/p>\n<p style=\"text-align: left;\">Teorema de la altura:<\/p>\n<p><em>En todo tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo la altura <b>h<\/b> (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos <b>b<\/b> y <b>c<\/b> divididos por la hipotenusa <b>a<\/b>.<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h4><span id=\".C3.81rea\" class=\"mw-headline\">\u00c1rea<\/span><\/h4>\n<table style=\"width: 700px; height: 32px;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 302px;\"><a class=\"image\" href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Rectangle.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"thumbimage\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/f\/fa\/Rectangle.svg\/375px-Rectangle.svg.png\" alt=\"\" width=\"250\" height=\"132\" data-file-width=\"775\" data-file-height=\"410\" \/><\/a><\/p>\n<p>Relaci\u00f3n entre el rect\u00e1ngulo y dos de las tres alturas (<i>la de los catetos<\/i>) de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo<\/td>\n<td style=\"width: 340px; vertical-align: top;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">Se puede considerar el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo como la mitad del \u00e1rea de un rect\u00e1ngulo partido por su diagonal, (<i>o un cuadrado si el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo es adem\u00e1s is\u00f3sceles<\/i>).<b><\/b><i><\/i><u><\/u><\/p>\n<p><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline aligncenter\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6ee049aee551bb5610819c1b5dc9a715fdb26c47\" alt=\"A = \\frac{b \\cdot a}{2}\" \/><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">donde <i><b>a<\/b><\/i> y <i><b>b<\/b><\/i> de la ecuaci\u00f3n\u00a0representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rect\u00e1ngulo<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Construcci\u00f3n Geom\u00e9trica En geometr\u00eda eucl\u00eddea plana se denomina tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo a cualquier tri\u00e1ngulo con un \u00e1ngulo recto, es decir, un \u00e1ngulo de 90 grados Terminolog\u00eda y casos especiales Un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo y sus elementos. 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