El Triángulo RECTÁNGULO

Construcción Geométrica

En geometría euclídea plana se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados

Terminología y casos especiales

Un triángulo rectángulo y sus elementos.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.

Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto; cada cateto se opone a un ángulo agudo. Sólo si la medida de los tres lados son números enteros (3,4 y 5), éstos constituyen un trío de nombre terna pitagórica.

Si los catetos son iguales se llama triángulo rectángulo isósceles ( 45°-90°-45°).

Propiedades

En todo triángulo rectángulo se cumple que:

Tiene dos ángulos agudos.
La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos (Teorema de Pitágoras).
La suma de la hipotenusa y el diámetro de un círculo inscrito en el triángulo es igual a la suma de los catetos.
Para efectos de área, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.
La mediana de la hipotenusa descompone un triángulo rectángulo escaleno en dos triángulos: uno obtusángulo y otro acutángulo, no congruentes pero equivalentes.
La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles lo descompone en dos triángulos rectángulos isósceles congruentes y equivalentes^.
Dos triángulos rectángulos, con hipotenusa común, y los ángulos rectos en semiplanos opuestos determinados por la recta que contiene a la hipotenusa, forman un cuadrilátero birrectángulo.
La mediana que parte del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
La altura que parte del vértice del ángulo recto, coincide con un cateto, con tal de considerar al otro cateto como una base.

Tipos de triángulo rectángulo

Existen dos tipos de triángulo rectángulo:

Triángulo rectángulo isósceles

Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45°- 45°- 90°. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide

{\sqrt {2}}

veces la longitud del cateto.

Triángulo rectángulo escaleno.

Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30° – 60° – 90°, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor

{\sqrt {3}}

veces la longitud del cateto

Relaciones métricas

Los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son rectángulos y semejantes.

La hipotenusa es igual a la suma de las proyecciones.

a=m+n\,\!

Por semejanza de triángulos, tenemos que:

El cuadrado de la altura relativa de los catetos.

{\frac {h}{m}}={\frac {n}{h}}\Rightarrow h^{2}=mn\,\!

El cuadrado de un cateto, es igual al producto entre su proyección (que se encuentra de su lado) y la hipotenusa.

{\frac {b}{a}}={\frac {m}{b}}\Rightarrow b^{2}=am\,\

{\frac {c}{a}}={\frac {n}{c}}\Rightarrow c^{2}=an\,\

Ilustración de los principales elementos del triángulo rectángulo:
a es la hipotenusa,
b el cateto mayor,
c el cateto menor,
h la altura relativa a la hipotenusa,
m la proyección del cateto b y
n la proyección del cateto c.

Teorema de la altura

El teorema de “la altura de un triángulo rectángulo” establece que

La altura del triángulo rectángulo ABC lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que

\frac{h}{n} = \frac{m}{h}

^{$h^2=m\,n \,$}

$h=\sqrt{m\,n}$

m=\frac{b^2}{a} \,

n=\frac{c^2}{a} \,

$h=\sqrt{m\,n}=\sqrt{\frac{b^2}{a}\frac{c^2}{a}}$

$h=\frac{b\,c}{a}$

Figura 1: Teorema de la altura.

Teorema de la altura:

En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.

Área

Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) de un triángulo rectángulo

Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).

$A = \frac{b \cdot a}{2}$

donde a y b de la ecuación representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo

M@teo

Terminología y casos especiales